第四章 应力强度分布干涉理论和机械零件的可靠度计算第4章应力强度分布干涉理论和机械零件的可靠度计算4-1概述4-2应力一强度分布干涉理论4-3蒙特卡罗(MonteCarlo)模拟法4-4机械零件的可靠度计算4-5可靠度与安全系数的关系4-6机械零部件的可靠性设计应用举例（螺栓联接设计）41概述在机械设计中，所设计对象的安全程度，即零件本身的强度所能承受外载荷作用的程度的重要尺度，就是安全系数。它是机械零件设计过程中的一个十分重要的参数。 安...

　　第4章应力强度分布干涉理论和机械零件的可靠度计算4-1概述4-2应力一强度分布干涉理论4-3蒙特卡罗(MonteCarlo)模拟法4-4机械零件的可靠度计算4-5可靠度与安全系数的关系4-6机械零部件的可靠性设计应用举例（螺栓联接设计）41概述在机械设计中，所设计对象的安全程度，即零件本身的强度所能承受外载荷作用的程度的重要尺度，就是安全系数。它是机械零件设计过程中的一个十分重要的参数。 安全系数一般的定义是：零件的强度与作用于它上面应力的比值，即主强度与主应力的比值，可写成如下形式 式中，n为安全系数；S为材料强度(MPa)；s为作用于零件上的应力(MPa)。（a） 如果考虑到强度与应力的变化量△S与△s，那么其最小强度值S=与最大应力值，必须满足以下不等式也就是说，强度最小值必须大于外载引起的应力最大值才安全。 故安全系数:（b）假定应力与强度的变化率均为0.25则此时零件的安全系数为:由以上分析可以看出，以往将安全系数处理为某一定值，就是考虑了强度与应力的变化率，其结果也是某一常量。它忽略了强度与应力的最大值与最小值出现的概率。 实际上，零(部)件所承受的外载荷，不管是静载荷还是动载荷，材料的强度不管是静强度还是动强度，由于受到各种随机因素的影响，它们都是呈某种分布规律的。应力和强度不可能是某一个固定不变的常量，而是呈某种分布的随机变量。机械零件失效的可能性(概率)用安全系数的大小是不能完全

　　征的。它取决于强度与应力的“干涉”面积的大小(以下谈及)，如下图中的阴影部分。那么，影响该面积大小的因素又是什么呢?基于应力与强度呈某一分布规律的观点，可以更进一步看出在安全系数设计中存在的问题。(1)假定应力与强度变化的分散程度不变，即

　　差不变时，强度与应力均值位置的变化所引起的“干涉”面积的变化如图所示。图中表明，在为5个单位，为2个单位时(即图中的实线部分)，其安全系数为: 如果将强度及应力的分布，在标准差不变的情况下，其均值同时增大某一倍数(如增大1.5倍)，由图1可以看出：在安全系数不变的情况下，强度与应力的均值向右平移的幅度是不同的。即 由图1中的虚线部分可以看出，在安全系数不变的情况下，“干涉”面积大大地变小了。也就是说，在同样的安全系数下，零件的失效可能性变小了。 如果强度与应力同时缩小某一倍数(如缩小0.5倍)，则图1就变为图2的情况。这时在安全系数不变的情况下，零件的失效可能性变大了。即安全系数:(2)如果强度与应力的均值不变，而强度与应力的分散度即标准差改变，则这时安全系数不变，但“干涉”面积则随强度或应力的分散度增加而加大，即失效概率随之加大，如图3 从上面的分析中可以得出以下的结论： (1)以相同的安全系数所设计出的零件其安全程度不一定是相同的。 (2)把安全系数本身看成某一常量是不符合实际情况的。 (3)大的安全系数不一定有大的安全效果。(4)小的安全系数不一定就不安全。用安全系数设计

　　的计算过程可以发现： 1在选择安全系数上具有很大的“主观”因数。不同的设计者设计相同的机械零件时，其结果是不同的，有时相差悬殊，带着较大的经验色彩。 2把设计的参数都看成固定不变的常量，忽略了各种随机因数对它的影响，因而设计结果不可能更好地接近实际工作情况。 3设计结果的安全程度如何？一开始设计者心中还是处于模糊的状态，往往需经过实际运行之后设计者心中才有“底”。在机械设备越来越庞大、越来越复杂的今天，机械系统中往往由于某个零件的失效而带来严重的后果。因此，有必要在机械零件设计过程中引入“可靠度”这个度量零件失效状况的定量指标，即要求所设计的零件在一定的可靠度下达到设计目标，或在某个设计目标下达到最高可靠度的要求。4-2应力一强度分布干涉理论材料机械性能统计和概率分布应力计算强度计算载荷统计和概率分布几何尺寸分布和其它随机因素机械强度可靠性设计干涉模型应力统计和概率分布强度统计和概率分布机械强度可靠性设计过程框图 机械零件的可靠性设计是以应力-强度分布干涉理论为基础的，该理论是以应力-强度分布干涉模型为基础的，从该模型可清楚地揭示机械零件产生故障而有一定故障率的原因和机械强度可靠性设计的本质。 在机械设计中，零件的强度S和工作应力s均为随机变量、呈分布状态。强度与应力具有相同的量纲，因此可以将它们的概率密度函数曲线和表示在同一个坐标系中（图1)。 通常要求零件的强度高于其工作应力，但由于零件的强度值与应力值的离散性，使应力-强度两概率密度函数曲线在一定的条件下可能相交，这个相交的区域（如图中的阴影线部分），就是产品可能出现故障的区域，称为干涉区。 由应力分布和强度分布的干涉理论可知，可靠度是“强度大于应力的整个概率”，表示为： 如能满足上式，则可保证零件不会失效，否则将出现失效。图1表示出这两种情况。当t=0时，两个分布之间有一定的安全裕度，因而不会产生失效。但随着时间的推移，由于材料和环境等因素，强度会逐渐衰减恶化（沿着衰减退化曲线时应力分布与强度分布发生干涉，这时将产生失效。从干涉模型可知，由于干涉的存在，任一设计都存在故障或失效的概率。机械零件的可靠度主要取决于应力-强度分布曲线干涉的程度。如果应力与强度的概率分布曲线已知，就可以根据其干涉模型计算该零件的可靠度。（4-1）需要研究的是两个分布发生干涉的部分。因此，对时间为t1时的应力一强度分布干涉模型进行分析，如图2所示，零件的工作应力为s，强度为S，它们都呈分布状态，当两个分布发生干涉(尾部发生重叠)时，阴影部分表示零件的失效概率，即不可靠度。应当注意，两个分布险的重叠面积不能用来作为失概率的定量表示，因为即使两个分布曲线完全重叠时，失效概率也仅为50％，即仍有50％的可靠度。 可靠度的一般表达式1）概率密度函数联合积分法 在机械零件的危险剖面上，当材料的强度值S大于应力值s时，不会发生失效；反之，将发生失效。由图3可知，应力值s1存在于区间内的概率等于面积A1，即 同时，强度值S超过应力值s1概率等于阴影面积A2，表示为（4-2）（4-3） A1、A2表示两个独立事件各自发生的概率。如果这两个事件同时发生，则可应用概率乘法定理来计算应力值为s1时的不失效概率，即可靠度，得: 因为零件的可靠度为强度值S于所有可能的应力值s整个概率，所以 此式即为可靠度的一般表达式，并可表示为更一般的形式 式中，a和b分别为应力在其概率密度函数中可以设想的最小值和最大值；c为强度在其概率密度函数中可以设想的最大值。（4-4）（4-5） 对于对数正态分布、威布尔分布和伽玛分布，a为位置参数，b和c为无穷大，对于分布，a为位置参数，b和c可能是一个有限值。 显然，应力一强度分布干涉理论的概念可以进一步延伸。零件的工作循环次数n可以理解为应力，而零件的失效循环次数N可以理解为强度。与此相应，有 式中，n为工作循环次数；N为失效循环次数（4-6）（4-7）2）功能密度函数积分法求解可靠度强度S和应力s差可用一个多元随机函数表示 称为功能函数。 设随机变量的密度函数，根据二维独立随机变量知识，我们可以通过强度S和应力s的概率密度函数和 计算出干涉变量的概率密度函数 因此，零件的可靠度可由下式求得 当应力和强度为更一般的分布时，可以用辛普森和高斯等数值积分法求可靠度。（4-6a）关于干涉理论的几点说明 从应力s与强度S相互干涉的基本情况可以看到，可靠度R与应力s、强度S及干涉变量的分布函数、及有关，且与的位置及和干涉区的大小有关。 (a)曲线与的相对位置可以用它们各自均值的比值来衡量，称为均值安全系数。另外也可用均值差（）来衡量，称为安全间距。当强度和应力的标准差和一定时，提高或提高，就会提高可靠度，因为此时干涉面积减小。(b)当应力和强度的均值一定时，降低它们的标准差和，可以提高可靠度。(c)干涉区的大小定性地反映可靠度的大小，即干涉区小，则失效概率小。但是干涉区的面积并不等于失效概率。 (d)干涉理论要求知道应力和强度这些随机变量的密度函数，这些函数在实际中是难以得到的，因而在

　　应用中受到了限制。在工程中更多地应用一些近似的概率分析方法。 (e)应当强调的是，强度低截尾区的数据和应力高截尾区的数据对可靠度的影响非常大，建议对低截尾区采用某种概率分布、对高截尾区采用两参数的指数分布。 (f)将干涉模型中应力和强度的概念推广，即凡是引起失效的因数都称之为“应力”，凡是阻止失效的因数都称之为“强度”，则应力-强度干涉理论同样可以用到刚度、动作、磨损及与时间有关的可靠性问题中。 蒙特卡罗模拟法(MonteCarlo)可以用来综合两种不同的分布，因此，可以用它来综合应力分布和强度分布，并计算出可靠度。这种方法的实质是，从一个分布(应力分布）中随机选取一（应力值）

　　，并将其与取自另一分布（强度分布）的（强度值）样本相比较，然后对比较结果进行统计，并计算出统计概率，这一统计概率就是所求的可靠度。 用蒙特卡罗模拟法进行可靠度计算的流程图如图所示。4-3蒙特卡罗(MonteCarlo)模拟法由图中第4步可知: 因此,已知和便可得出相应的si和Si 如果把上述第5步的条件，改为S1s1或则可相应地得到: 显然，模拟的次数越多，则所得可靠度的精度越高。（4-8）（4-9）例4-1已知一零件的应力分布和强度分布都为正态分布，其数据为试用蒙特卡罗模拟法计算其可靠度。可见，随着模拟次数的增加，模拟结果的精度也随之提高。根据流程说明的原理和步骤，编制计算机程序，并得出下列打印结果：当应力和强度分布都为正态分布时，可靠度的计算大大简化。可以用这里介绍的联结方程先求出联结系数z，然后利用标准正态分布面积表求出可靠度。呈正态分布的应力和强度概率密度函数分别为: 又知可靠度是强度大于应力的概率，表示为 R(t)=P[(S-s)0]4-4机械零件的可靠度计算一、应力和强度分布都为正态分布时的可靠度计算（4-10）（4-11）将定义为随机变量S与s之差的分布函数，由于和都为正态分布,所以根据概率统计理论，也为正态分布函数,表示为:可靠度是为正值时概率，如图5-5所示，可以表示为式中:如令,则可靠度为的概率，表示为（4-12）（4-13）（4-14）（4-15）由图5-5可知，如将化为标准正态分布，则有式中:（4-16）（4-17）由式(418)可知，当已知Z值时，可按标准正态分布面积表查出可靠度R(t)值。因此，式(418)实际上把应力分布参数、强度分布参数和可靠度三者联系起来，所以称为联结方程，这是一个非常重要的方程。Z称为联结系数，也称为可靠性系数，或安全指数。进行可靠性设计时，往往先规定目标可靠度；这时，可由标准正态分布表查出联结系数z，再利用式(4-18)求出所需要的设计参数，如尺寸等。通过这些步骤，实现了“把可靠度直接设计到零件中去”。（4-18）由式（4-17）可知， 例4-2已知某零件的应力分布和强度分布都为正态分布，其分布参数分别为 试计算其可靠度?由式(4-16)得:解:由(4-8) 由标准正态分布面积表可得可靠度R(t)=0．99801。由上例可见，一旦知道应力和强度分布的均值及标准差，便可确定其可靠度。问题在于常常缺乏必要的数据和经验，国外通常取，甚至更高。考虑到目前我国的材质，建议不妨可以取得高些。至于应力分布的标准差，则因使用条件和环境的差异，出入较大，应当考虑工作环境条件和参考以往的经验加以确定。表5-1钢轴试件的强度分布数据[6]工作寿命均值标准差 （MPa） （MPa） 4.30 685 14.0 4.40 661 13.1 4.50 638 12.6 4.60 617 13.3 4.70 596 13.0 4.80 578 12.3 4.90 562 13.0 5.00 546 13.8 5.10 530 14.4 5.20 514 14.8 5.30 499 15.0二、应力和强度分布都为对数正态分布时的可靠度计算由式（4-1），R(t)=P(S/s),意为可靠度是强度与应力的比值大于1的概率，如图。如令，因R(t)=P(1),由图5-7可知（4-19）对的两边取对数，得 因S和s服从对数正态分布，所以lgS和lgs服从正态分布，其差值lg亦服从正态分布，其分布参数为（4-20）式中lgS的标准差；lgs的标准差。令其分布曲线）当由此可见，由于对数正态分布与正态分布之间的特殊关系，因此，当应力和强度即利用联结方程和标准正态分布表来计算可靠度。分布都为对数正态分布时，可以采用正态分布相同的方法， 工作循环次数可以理解为应力，与此相应，失效循环次数可以理解为强度。研究表明，零件的工作循环次数常呈现为对数正态分布。这时，在工作循环次数为n1时的可靠度为（4-23）式中工作循环次数；工作循环次数的对数，（4-24）失效循环次数对数的均值；失效循环次数对数的标准差。有时，在零件的工作循环次数达到n1之后，希望能再运转n个工作循环次数，零件在这段增加的任务期间内的可靠度是一个条件概率；表示为(4-25)三、已知应力幅水平、相应的失效循环次数的分布 本节讨论的问题如图59所示。试验表明，在不同的应力幅水平下，失效循环次数的分布呈对数正态分布，应力水平越低，则失效循环次数分布的离散程度越大。 如取对数坐标，并将图5-9简化，则可得图510。由图可知，在规定的寿命n1之下，如已知应力幅水平s1、s2和相应的失效循环次数分布、，则其可靠度为图中阴影面积的大小，可按式(4-23)和式(424)求出。寿命要求时，疲劳应力下零件的可靠度计算和规定的例4-5钢轴在应力幅水平为常数的情况下运转，已知s1=524MPa，其失效循环次数为对数正态分布，数据如表5-3所示。试计算下列三种情况下的可靠度：(1)当工作循环次数为n1=次时；(2)当n1=8×次时；(3)当应力水平提高为s2=559MPa，n1=次时。表5-3冷拉钢轴试件的失效循环次数分布数据[1]解：（1）当n1=次，当s1=524MPa, 由（4-24） 由（4-23）及标准正态分布表，得 (2)当可得（3）当应力水平升至可靠度可见，当应力水平提高时，可靠性降低；当工作循环次数减小时，可靠度增大。四、已知强度分布和最大应力幅，在规定寿命下的 若已知规定寿命下的强度分布，如图5-11所示，和零件中最大应力幅s1,则零件的可靠度为图中阴影面积，可按下式计算：零件可靠度计算五、复合疲劳应力下零件的可靠度计算 当零件受应力幅sa和平均应力sm作用时，其应力分布和强度分布如图5-12所示。所以，零件的可靠度计算仍根据应力一强度分布干涉理论进行计算。 为简化计算，假设应力分布与强度分布都服从正态分布，这时，联结方程为（4-27）可靠度仍可按（4-16）计算4-5可靠度与安全系数的关系传统机械设计中的安全系数被定义为强度与应力之比，表示为：如果不考虑强度和应力的离散性，那么，单值的安全系数概念已经十分陈旧。如果考虑到强度和应力都是呈分布状态的，则安全系数可以定义为强度均值与应力均值之比，即由图5-7可知，就是安全系数。因此，实际上安全系数也是呈分布状态的，可靠度R(t)可以表示为安全系数n区间[1，]内的积分。由式(4-19)得（4-19）(4-28)由联结方程，知当所以式中（4-29）由随机变量代数表4-7，可得安全系数的标准差为（4-30）当强度分布和应力分布的离散程度较大时，安全系数的均值即使选择得符合使用经验的规定，仍不能保证零件的安全和可靠。但当强度分布和应力分布的离散程度较小时，的大小仍能反映出零件和安全程度。当零件的应力分布和程度公布都为正态分布时，其联结方程为：（4-31）将上式右侧的分子、分母都除以，得（4-32）强度分布的变异系数，一般可取V=0.04～0.08,甚至更高；应力分布的变异系数。根据机械的类型和具体的使用条件和环境而定，一般事取为百分之几，甚至更高。由式（4-32）可知：1）在Z、n、VS和Vs4个参数中，如果已知其中3个，便可求出第四个；2）Z（因而也是R）与取决于变异系数VS与Vs值的大小。之间的相互关系由式（4-32），移项后重新整理，可得（4-33）如果把代入式（4-33），则可得（4-34）由上式可知，当求出联结系数Z的同时，也就确定了在这可靠度R之下的安全系数均值的大小。不过只有在VS和Vs较小时，才有意义。例题已知：轴的疲劳强度分布为， 应力分布为。试求目标 可靠度 时的安全系数。解：与可靠度相应的联结系数Z=-3.09，将有关各值代入（4-34）4-6机械零部件的可靠性设计应用举例（螺栓联接设计）在进行零部件的可靠性设计时，应当明白，并不是所有的零部件都要求同样的可靠性尺度。例如，曾经作过统计，在一架有3万多个零部件的飞机上，经常发生故障的零件只有600多个，即只占2%左右。根据帕累托分析（ParetoAnalysis），这600多个零部件称主要多数，其余称为次要多数。又如在国外，对一架大型民用客机的可靠性要求，应当高于一架军用机的要求。因为一架民用客机的失事，会招致巨大的经济损失。因此，应当根据不同的情况确定不同的目标可靠度。在缺乏经验时，按可靠性手册的可靠度荐用值参考。下面是螺栓联接设计的例子。

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